Question

18．已知抛物线y=ax²+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax²+bx+5（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，求出当△OEF的面积取得最小值时，点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据A（5，0），B（6，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式，进而得出点C的坐标；
（2）根据点A、B、C的坐标可以求出∠BAC=90°，从而得到△ABC就是直角三角形，所以点C即为所求的一个点P的，再根据平行直线的解析式的k值相等求出过点B的直线PB，与抛物线联立求解即可得到另一个点P；
（3）根据点A、B、C的坐标可得∠OAE=∠OAF=45°，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠OEF=∠OFE=45°，∠EOF=90°然后根据等角对等边可得OE=OF，然后利用直线AC的解析式设出点E的坐标，再利用勾股定理表示出OE的平方，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到面积的表达式，再利用二次函数的最值问题解答即可．

解答 解：（1））∵抛物线y=ax²+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b+5=0}\\{36a+6b+5=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+5，
令x=0，则y=5，
所以，点C的坐标为（0，5）；
（2）假设存在，分两种情况：如图1，①过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A（5，0），C（0，5），B（6，1），
∴OC=AO=1，AH=BH=1，
∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
点C（0，5）符合条件，
所以，P₁（0，5）；
②当∠ABP=90°时，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，
∵A（5，0），C（0，5），
∴直线AC的解析式为y=-x+5，
设直线BP的解析式为y=-x+b，
则-6+b=1，
解得b=7，
∴直线BP：y=-x+7，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+7}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+5}\end{array}\right.$，

解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=1}\end{array}\right.$，
又∵点B（6，1），
∴点P的坐标为（-1，8），
综上所述，存在点P₁（0，5），P₂（-1，8）；

（3）如图2，∵A（5，0），C（0，5），B（6，1），
∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，
又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=180°-45°×2=90°，即△OEF是直角三角形；
∵点E在直线AC上：y=-x+5，
∴设点E（x，-x+5），
根据勾股定理，OE²=x²+（-x+5）²，
=2x²-10x+25，
所以，S_△OEF=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$OE²=x²-5x+12.5=（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
所以，当x=$\frac{5}{2}$时，S_△OEF取最小值$\frac{25}{4}$，
此时-x+5=-$\frac{5}{2}$+5=$\frac{5}{2}$，
所以，点E的坐标（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合，主要利用了抛物线与x轴的交点间的距离的表示，抛物线上点的坐标特征，直角三角形的判定，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，（3）题，根据点A、B、C的坐标求出45°角，从而得到直角或相等的角是解题的关键，题目构思灵活，数据设计巧妙．