Question

13．在形如a^b=N的式子中，我们已经研究两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开放运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果a^b=N，（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作：b=log_aN，例如求log₂8，因为2³=8，所以
log₈=3，又比如∵2^-3=$\frac{1}{8}$，∴log₂$\frac{1}{8}$=-3，
（1）根据定义计算：
①log₃81=4 ②log₁₀=1③如果log_x16=4，那么x=2
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵a^x．a^y=a^x+y=M．N
∴log_aMN=x+y，即log_aMN=log_aM+log_aN
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n（其中M₁、M₂、M₃…、M_n均为正数a＞0，a≠1）
（3）请你猜想：log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）

Answer 1

分析 阅读题目，理解题意，明确对数的定义、积的对数和商的对数的运算法则，可逐步推出结果．

解答 解：（1）①因为3⁴=81，所以log₃81=4；②因为10⁰=1，所以log₁₀1=0；③因为2⁴=16，所以x=2．
（2）结合题意的分析，可知log_aM₁M₂M_3…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n．
（3）因为log_aMN=log_aM+log_aN，所以可猜想：log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．
故答案为：4，2，log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n，log_aM-log_aN．

点评 此题考查整式的混合运算，给出一种新的运算，读懂题目信息，理解对数与乘方的关系是求解的关键．