Question

2．抛物线y=x²+bx+c与x轴分别交于点A（-1，0）和点B，与y轴的交点C坐标为（0，-3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC的值最小，求点D的坐标；
（3）点E为抛物线上的一点，使得△ABE的面积为6，求出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点和C点坐标代入y=x²+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
（2）把（1）解析式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=1，再解方程x²-2x-3=0得到B（3，0），如图，连结CB交直线x=1于D点，利用两点之间线段最短可判断此时DA+DC最短，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-3，然后计算自变量为所对应的函数值即可得到D点坐标；
（3）设E（t，t²-2t-3），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=6，则t²-2t-3=3或t²-2t-3=-3，然后分别解方程求出t即可得到E点坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则抛物线的对称轴为直线x=1，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0），
如图，连结CB交直线x=1于D点，
因为DA+DC=DB+DC=CB，
所以此时DA+DC最短，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，-3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=x-3=1-3=-2，
所以此时D点坐标为（1，-2）；
（3）设E（t，t²-2t-3），
因为△ABE的面积为6，
所以$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=6，
则t²-2t-3=3或t²-2t-3=-3，
解方程t²-2t-3=3得t₁=1+$\sqrt{7}$，t₂=1-$\sqrt{7}$，此时E点坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）；
解方程t²-2t-3=-3得t₁=0，t₂=2，此时E点坐标为（0，-3）或（2，-3）．
综上所述，满足条件的E点坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（0，-3）或（2，-3）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了最短路径问题．