Question

1．探究
问题1  已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为1．
拓展
问题2  已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3  如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE=DF；
（2）利用等腰三角形的性质和判定得出结论，从而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE=DF．
（3）利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS证明△DHE≌△FGD可得．

解答 解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE=DF
∵DE=kDF
∴k=1
（2）∵CB=CA
∴∠CBA=∠CAB
∵∠MAC=∠MB
∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC
即∠ABM=∠BAM
∴AM=BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB=∠MFA=90
又∵∠MBE=∠MAF
∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE=AF
∵D是AB的中点，即BD=AD
又∵∠DBE=∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE=DF
（3）DE=DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H，

∵点 D是 边 AB的 中点
∴DG∥BM，DG=$\frac{1}{2}$BM
同理可得：DH∥AM，DH=$\frac{1}{2}$AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE=$\frac{1}{2}$BM=BH
∴∠HBE=∠HEB
∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC
又∵DG=$\frac{1}{2}$BM，HE=$\frac{1}{2}$BM
∴DG=HE
同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM=∠DHM
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC
又∵∠MBC=∠MAC
∴∠MGF=∠MHE
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE
∴∠DGF=∠DHE
在△DHE与△FGD中
$\left\{\begin{array}{l}{DG=HE}\\{∠DGF=∠DHE}\\{DH=FG}\end{array}\right.$，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF

点评 本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．