Question

【题目】如图，在正方形中，，是的中点，将绕点逆时针旋转后，点落在的延长线上点处，点落在点处．再将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，．

（1）求证：；

（2）求点，点在旋转过程中形成的，与线段所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） ．

【解析】

（1）根据正方形的性质可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ABF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形对应边相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得EC∥FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明；
（2）求出FE、BE的长，再利用勾股定理列式求出AF的长，根据平行四边形的性质可得△FEC和△CGF全等，从而得到S△FEC=S△CGF，再根据S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC-S扇形FAG列式计算即可得解．

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，
∴∠AFB+∠FAB=90°，
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，
∴EC∥FG，
∵AF=CE，AF=FG，
∴EC=FG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，
∴BF=BE=×2=1，
∴AF= ，
由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，
∴S△FEC=S△CGF，
∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC-S扇形FAG，
= ，

．