精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图1,在锐角ABC中,AB=5,tanC=3,BDAC于点D,BD=3,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动,过点P作PEAC交边BC于点E,以PE为边作RtPEF,使EPF=90°,点F在点P的下方,且EFAB.设PEF与ABD重叠部分图形的面积为S(平方单位)(S0),点P的运动时间为t(秒)

(t>0).

(1)求线段AC的长.

(2)当PEF与ABD重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围

(3)若边EF所在直线与边AC交于点Q,连结PQ,如图2,直接写出△ABC的某一顶点到P、Q两点距离相等时t的值.

【答案】(1)5(2)S=(5﹣t)2(3)综上所述,t=s或s或s时,满足题目要求

【解析】分析: (1)在Rt△ABD中,利用勾股定理求出AD,在Rt△BDC中,求出CD即可.

(2)分2种情形求解:如图1中,当0<t≤1时,重叠部分是四边形PMDN.如图2中,当≤t<5时,重叠部分是四边形PNMF.

(3)如图5中,当PQ的垂直平分线经过当A时.根据PE=PA,可得t=5-t解决问题.如图6中,当PQ的垂直平分线经过点B时,作EN⊥ACN,EPBDM.在Rt△BQD中,根据BQ2=QD2+BD2,列出方程即可解决问题.

详解:

(1)在RtABD中,∠BDA=90°,AB=5,BD=3,

AD===4,

RtBCD中,∠BDC=90°,BD=3,tanc=3,CD===1,

AC=AD+CD=4+1=5.

(2)如图1中,当0<t≤1时,重叠部分是四边形PMDN.

易知PA=t,AM=t,PM=t,DM=4﹣t,

S=t(4﹣t)=﹣t2+t.

如图2中,当≤t<5时,重叠部分是四边形PNMF.

AB=5,AC=AD+CD=4+1=5,

AC=AB,

易证PB=PE=5﹣t,PF=(5﹣t),PN=(5﹣t),

S=(5﹣t)(5﹣t)﹣(5﹣t)(5﹣t)=(5﹣t)2

(3)如图3中,当AP、Q距离相等时.

易知四边形APEQ时菱形,∴PE=PA,即t=5﹣t,t=

如图4中,当BP、Q距离相等时,作ENACN,EPBDM.

易知四边形PENG是矩形,四边形DMEN是矩形,∴PG=EN=t,EM=DN=PE﹣PM=(5﹣t),

QN=EN=t,QD=4﹣(5﹣t)=t﹣1,在RtBQD中,∵BQ2=QD2+BD2

(5﹣t)2=32+(t﹣1)2t=

如图5中,当CP、Q距离相等时,作PMACM,连接PC.

PC=CQ,可得:(t)2+(5﹣t)2=t2,解得t=

综上所述,t=sss时,满足题目要求.

点睛: 本题考查三角形综合题、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,学会构建方程解决问题,属于中考压轴题.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图:已知,对应的坐标如下,请利用学过的变换(平移、旋转、轴对称)知识经过若干次图形变化,使得点A与点E重合、点B与点D重合,写出一种变化的过程_____.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】新定义:[abc]为二次函数y=ax2+bx+ea≠0abc为实数)的图象数,如:y=-x2+2x+3图象数[-123]

1)二次函数y=x2-x-1图象数

2)若图象数[mm+1m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在ABC中,∠ACB=90°AC=8BC=6CDAB于点D.点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动.在运动过程中,以点P为顶点作长为2,宽为1的矩形PQMN,其中PQ=2PN=1,点Q在点P的左侧,MNPQ的下分,且PQ总保持与AC垂直.设P的运动时间为t(秒)(t0),矩形PQMNACD的重叠部分图形面积为S(平方单位).

1)求线段CD的长;

2)当矩形PQMN与线段CD有公共点时,求t的取值范围;

3)当点P在线段AD上运动时,求St的函数关系式.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知抛物线y=ax2﹣8ax+12a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),抛物线上另有一点C在第一象限,且使△OCA∽△OBC,

(1)求OC的长及的值;

(2)设直线BC与y轴交于P点,当点C恰好在OP的垂直平分线上时,求直线BP和抛物线的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】问题情境

在综合与实践课上,老师让同学们以两条平行线ABCD和一块含60°角的直角三角尺EFG(EFG90°,∠EGF60°)”为主题开展数学活动.

操作发现

(1)如图(1),小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上,若∠221,求∠1的度数;

(2)如图(2),小颖把三角尺的两个锐角的顶点EG分别放在ABCD上,请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系;

结论应用

(3)如图(3),小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上,30°角的顶点E落在AB上.若∠AEGα,则∠CFG等于______(用含α的式子表示)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】有一张长方形纸片(如图①),,将纸片折叠,使落在边上,的对应点,折痕为(如图②),再将长方形为折痕向右折叠,若点落在的三等分点上,则的长为(

A.8B.10C.810D.812

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】材料:思考的同学小斌在解决连比等式问题:已知正数满足,求的值时,采用了引入参数法,将连比等式转化为了三个等式,再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出之间的关系,从而解决问题.过程如下:

解;设,则有:

将以上三个等式相加,得.

都为正数,

,即.

.

仔细阅读上述材料,解决下面的问题:

1)若正数满足,求的值;

2)已知互不相等,求证:.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为PPAx轴于点A,PBy轴于点B,函数y=kx+2的图象分别交x轴,y轴于点C,D,已知OCD的面积SOCD=1,=

(1)求点D的坐标;

(2)求k,m的值;

(3)写出当x>0时,使一次函数y=kx+2的值大于反比例函数y=的值x的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案