Question

如图1，在平面内取一点O，过点O作两条夹角为60°的数轴，使它们以点O为公共原点且具有相同的单位长度，这样在平面内建立的坐标系称为斜坐标系，我们把水平放置的数轴称为横轴（记作a轴），将斜向放置的数轴称为斜轴（记作b轴）．类似
于直角坐标系，对于斜坐标平面内的任意一点P，过点P分别作b轴、a轴的平行线交a轴、b轴于点M、N，若点M、N分别在a轴、b轴上所对应的实数为m与n，则称有序实数对（m，n）为点P的坐标．可知建立了斜坐标系的平面内任意一个点P与有序实数对（m，n）之间是相互唯一确定的．

（1）请写出图2（其中虚线均平行于a轴或b轴）中点P的坐标，并在图中标出点Q（2，-3）；
（2）如图3（其中虚线均平行于a轴或b轴），在斜坐标系中点A（1，4）、B（1，-1）、C（6，-1）．

①判断△ABC的形状，并简述理由；
②如果点D在边BC上，且其坐标为（2.5，-1），试问：在边BC上是否存在点E使△ACE与△ABD相全等？如有，请写出点E的坐标，并说明它们全等的理由；如没有，请说明理由．

Answer 1

（1）点P（5，4），点Q坐标如图所示；（4分）

（2）①△ABC是等边三角形，
∵AB∥b轴，BC∥a轴，
∴∠ABC=60°．（1分）
∵AB=|-1-4|=5，BC=|6-1|=5，
∴AB=BC，（1分）
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．（1分）
②存在．
∵B（1，-1）、D（2.5，-1），
∴BD=2.5-1=1.5，
取CE=1.5，
则6-1.5=4.5，
∴存在点E（4.5，-1），使BD=CE，（1分）
在△ABD与△ACE中，
∵

AB=AC ∠B=∠C BD=CE

，（1分）
∴△ABD≌△ACE．（1分）