Question

阅读材料：

已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．

∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=（a+b+c）r．

∴r=．

（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；

（2）理解应用：如图（3），在四边形ABCD中，⊙O₁与⊙O₂分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O₁与△ABD切点分别为E、F、G，设它们的半径分别为r₁和r₂，若∠ADB=90°，AE=4，BC+CD=10，S_△DBC=9，r₂=1，求r₁的值．

Answer 1

解：（1）连接OA，OB，OC，OD，

∵S_{四边形ABCD}=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOD+S_△COD=（a+b+c+d）r，

∴r=；

（2）∵S_△DBC=9，r₂=1，

∴BC+CD+BD==18，

∵BC+CD=10，

∴BD=8．

∵⊙O₁是△ABD的内切圆，

∴AE=AG=4，BE=BF，DF=DG，

∴DG+BE=BD=8，

∴设DG=x，则BE=8﹣x，

∵∠ADB=90°，

∴AD²+BD²=AB²，即（4+x）²+8²=（4+8﹣x）²，解得x=2，

∴AD=AG+DG=4+2=6，

∴S_△ABD=AD•BD=×6×8=24，

∵AD+AB+BD=AG+AE+（DG+BE）+BD=4+4+8+8=24，

∴r₁===2．