Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°
（1）求B、C两点的坐标；
（2）过点G（0，-6）作GF⊥AC，垂足为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，求直线DE的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点M在直线DE上，平面内是否存在点P，使以O、F、M、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到；
（2）先求出直线DE的斜率，设直线DE的解析式是y=

3

x+b，再把点G代入求出b的值即可；
（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得P的坐标．

解答：解：（1）在直角△OAC中，
∵∠ACO=30°
∴tan∠ACO=

OA

OC

=

3

3

，
∴设OA=

3

x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）²+（

3

x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2

3

．
故C的坐标是：（6

3

，0），B的坐标是（6

3

，6）；

（2）∵直线AC的斜率是：-

6

6 3

=-

3

3

，
∴直线DE的斜率是：

3

．
∴设直线DE的解析式是y=

3

x+b，
∵G（0，-6），
∴b=-6，
∴直线DE的解析式是：y=

3

x-6；

（3）∵C的坐标是：（6

3

，0），B的坐标是（6

3

，6）；
∴A（0，6），
∴设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

6=b 0=6 3 k+b

，
解得

b=6 k=- 3 3

．
∴直线AC的解析式为y=-

3

3

x+6．
∵直线DE的解析式为y=

3

x-6，
∴

y=- 3 3 x+6 y= 3 x-6

，
解得

x=3 3 y=3

．
∴F是线段AC的中点，
∴OF=

1

2

AC=6，
∵直线DE的斜率是：

3

．
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
则∠POC=60°或120°．
当∠POC=60°时，过N作NG⊥y轴，则PG=OP•sin30°=6×

1

2

=3，
OG=OP•cos30°=6×

3

2

=3

3

，则P的坐标是（3，3

3

）；
当∠NOC=120°时，与当∠POC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3

3

）；
当OF是对角线时（如图2），MP关于OF对称．
∵F的坐标是（3

3

，3），
∴∠FOD=∠POF=30°，
在直角△OPH中，OH=

1

2

OF=3，OP=

OH

cos∠POH

=

3

3 2

=2

3

．
作PL⊥y轴于点L．
在直角△OPL中，∠POL=30°，
则PL=

1

2

OP=

3

，
OL=OP•cos30°=2

3

×

3

2

=3．
故P的坐标是（

3

，3）．
当DE与y轴的交点时G，这个时候P在第四象限，
此时点的坐标为：（3

3

，-3）．
则P的坐标是：（3

3

，-3）或（3，3

3

）或（-3，-3

3

）或（

3

，3）．

点评：本题考查了一次函数综合题，在解答（3）时要注意分两种情况进行讨论，不要漏解．