Question

已知四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线OB折叠，使点A落在D处，BD交OC于E．
（1）求OE的长；
（2）求过O、C、D三点抛物线的解析式；
（3）若F为过O、D、C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t秒为何值时，直线PF把△FOB分成面积之比为1：3的两部分？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据AAS定理得出△BEC≌△OED，再根据勾股定理求出OE的长；
（2）过D作DG⊥OC于G，可得出△ODE∽△OGD，根据相似三角形的性质求出CD两点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（3）先求出直线OB的解析式为y=

1

2

x，设直线PF交OB于H，H（m，

1

2

m），过H作HM⊥OA垂足为M，则△oMH∽△oab，根据相似三角形的对应边成比例求出HM的长、OM的长，求得H的坐标，然后根据F、H的坐标求得直线PF的解析式，进而可得出结论；

解答：解：（1）如图1，∵四边形OABC为矩形，△OBD是由△OAB沿BD翻折而成，且A（0，4），B（8，4），C（0，8），则OD=BC=OA=4，
∠D=∠ECB=90°，∠OED=∠BEC，
∵

∠D=∠ECB ∠OED=∠BEC OD=BC

，
∴△OED≌△BEC（AAS），
∴DE=EC，
设OE=x，则EC=8-x，
∴x²=（8-x）²+4²．
∴OE=5，
（2）如图2，过D作DG⊥OC于G，故△ODE∽△OGD，
∵OE=5，
∴DE=EC=8-5=3，
∴

OD

OE

=

DG

DE

=

OG

OD

，
即

4

5

=

DG

3

=

OG

4

，解得，DG=

12

5

，OG=

16

5

，
∴D（

16

5

，-

12

5

），
由于过点O、D、C的抛物线经过原点，则设y=ax²+bx，而C（8，0），D（

16

5

，-

12

5

），
∴

64a+8b=0 ( 16 5 )2a+ 16 5 b=- 12 5

，
解之得

a= 5 32 b=- 5 4

，
∴y=

5

32

x²-

5

4

x；

（3）如图3，由y=

5

32

x²-

5

4

x；
=

5

32

（x²-8x+16）-

5

2

=

5

32

（x-4）²-

5

2

，
故顶点F的坐标为F（4，-

5

2

）；
易求直线OB的解析式为y_OB=

1

2

x，设直线PF交OB于H，H（m，

1

2

m），
过H作HM⊥OA垂足为M，则△OMH∽△OAB，
∵直线PF把△FOB分成面积之比为1：3的两部分，
∴

OH

OB

=

1

4

或

OH

OB

=

3

4

∴

OH

OB

=

OM

OA

=

1

4

或

OM

OA

=

3

4

∴OM=

1

4

×4=1或OM=

3

4

×4=3
∴MH=2或MH=6，
∴HM=2或6，而m=2或6，
∴H₁（2，1），H₂（6，3），
∴直线FH₁的解析式为y=-

7

4

x+

9

2

，当y=4时，x=

2

7

，
直线EH₂的解析式为y=

11

4

x-

27

2

，当y=4时，x=

70

11

，
故当t=

2

7

秒或

70

11

秒，直线PF把△FOB分成面积之比为1：3的两部分．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、全等三角形及相似三角形的判定与性质，难度较大．