【题目】探究:已知二次函数经过点
.
(1)求该函数的表达式;
(2)如图所示,点是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点
的横坐标为
,连接
,
,
.
①求的面积
关于
的函数关系式;
②求的面积的最大值,并求出此时点
的坐标.
拓展:在平面直角坐标系中,点的坐标为
,
的坐标为
,若抛物线
与线段
有两个不同的交点,请直接写出
的取值范围.
【答案】探究:(1);(2)①
,②
的面积的最大值是
,此时点
的坐标为
,拓展:
.
【解析】
(1)由待定系数法易求解析式;
(2)过点作
于点
,交
于点
.设点
的坐标为
,由
可得关于t的二次函数,进而可求最大值.
(3)根据抛物线与MN的位置关系可知当抛物线经过M点时,a取最大值.
探究:(1)∵抛物线经过点
,
∴,解得
.
∴抛物线的表达式为.
(2)①过点作
于点
,交
于点
.
设直线的解析式为
,
将、
代入
,
,解得:
,
∴直线的解析式为
.
∵点在抛物线
上,点
在直线
上,
∴点的坐标为
,点
的坐标为
,
∴
,
∴
.
②∵,
∴当时,
,
当时,
.
∴的面积的最大值是
,此时点
的坐标为
.
[拓展]:抛物线y=ax22x+3(a<0),当x=1时,y=a-2+3=a+1<3,故抛物线右边一定与MN有交点,
当x=-1,y=a+2+3=a+5,在M点或下方时,抛物线左边边一定与MN有交点,
即a+5≤3;
∴;
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线
交x轴的负半轴于点
,交x轴的正半轴于点
,交y轴的负半轴于点
,且
.
(1)如图,求a的值
(2)如图,点在第一象限的抛物线上,连接
,过点
作
轴,交直线
于点
,连接
与
交于点
,若
,求点
的坐标及
的值;
(3)如图,在(2)的条件下,点在第一象限的抛物线上,过点
作
的垂线,交x轴于点
,点
在
轴上(点
在点
的左侧),
,点
在直线
上,连接
.若EP=OG,∠PEF+∠G=45°,求点
的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为弘扬中华传统文化,某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛.为了解学生整体听写能力,赛后随机抽查了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计分析,并制作成图表:
组别 | 分数段 | 频数 | 频率 |
一 | 50.5~60.5 | 16 | 0.08 |
二 | 60.5~70.5 | 30 | 0.15 |
三 | 70.5~80.5 | m | 0.25 |
四 | 80.5~90.5 | 80 | n |
五 | 90.5~100.5 | 24 | 0.12 |
请根据以上图表提供的信息,解答下列可题:
(1)这次随机抽查了______名学生,表中的数m=______,n=______;此样本中成绩的中位数落在第______组内;若绘制扇形统计图,则在修中“第三组”所对应扇形的圆心角的度数是______
(2)补全频数直方图;
(3)若成绩超过80分为优秀,请你估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀的人数.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)如图1,已知垂直平分
,垂足为
,
与
相交于点
,连接
.
求证:.
(2)如图2,在中,
,
为
的中点.
①用直尺和圆规在边上求作点
,使得
(保留作图痕迹,不要求写作法);
②在①的条件下,如果,
,P为MN中点,求MQ的长度.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】修建隧道可以方便出行.如图:,
两地被大山阻隔,由
地到
地需要爬坡到山顶
地,再下坡到
地.若打通穿山隧道,建成直达
,
两地的公路,可以缩短从
地到
地的路程.已知:从
到
坡面的坡度
,从
到
坡面的坡角
,
公里.
(1)求隧道打通后从到
的总路程是多少公里?(结果保留根号)
(2)求隧道打通后与打通前相比,从地到
地的路程约缩短多少公里?(结果精确到0.01)(
,
)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中, ,
,将矩形沿直线EF折叠.使得点A恰好落在BC边上的点G处,且点E、F分别在边AB、AD上(含端点),连接CF.
(1)当 时,求AE的长;
(2)当AF取得最小值时,求折痕EF的长;
(3)连接CF,当 是以CG为底的等腰三角形时,直接写出BG的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD,其中AD∥BC,∠ABC=72°,为了提高拦河坝的安全性,现将坝顶宽度水平缩短10m,坝底宽度水平增加4m,使∠EFC=45°,请你计算这个拦河大坝的高度.(参考数据:sin72°≈,cos72°≈
,tan72°
)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为 开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布.为测量它的高度,测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°,测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°,AB 与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得 CG=27m, GF=17.6m(注:C、G、F 三点在同一直线上,CF⊥AB 于点 F).斜坡 CD=20m, 坡角∠ECD=40°.求瀑布 AB 的高度.(参考数据:≈1.73,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲,乙,丙三种作物,分别在山脚,山腰和山顶三个试验田进行试验,每个试验田播种二十粒种子,农业专家将每个试验田成活的种子个数统计如条形统计图,如图所示,下面有四个推断:
①甲种作物受环境影响最小;②乙种作物平均成活率最高;
③丙种作物最适合播种在山腰;
④如果每种作物只能在一个地方播种,那么山脚,山腰和山顶分别播种甲,乙,丙三种作物能使得成活率最高.其中合理的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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