Question

【题目】（1）如图1.等边的边长为2，点为边上一点，连接，则长的最小值是________；

（2）如图2，己知菱形的周长为16，面积为，为中点，若为对角线上一动点，为边上一动点，计算的最小值；

（3）如图3，己知在四边形中，，，，为边上一个动点，连接，过点作，垂足为点，在上截取.试问在四边形内是否存在点，使得的面积最小？若存在.请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）根据垂线段最短即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H，在DC上截取DQ′＝DQ，连接PQ′，AC，EC．首先证明△ABC是等边三角形，证明△PDQ≌△PDQ′（SAS），可得PQ＝PQ′，推出PE＋PQ＝PE＋PQ′，再根据垂线段最短即可解决问题．
（3）存在，如图3中，以AD为斜边在直线AD的下方作等腰直角△ADO，作OM⊥BC于M，AN⊥OM于N，连接AC，PD．证明点P的运动轨迹是，当点P在线段OM上时，PM的值最小，此时△PBC的面积最小．

解：（1）如图1中，根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，线段AD的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的高AD＝，
∴AD的最小值为．
故答案为:．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H，在DC上截取DQ′＝DQ，连接PQ′，AC，EC．

∵四边形ABCD是菱形，周长为16，
∴AB＝BC＝4，∠QDP＝∠Q′DP，
∴S菱形ABCD＝BCAH，
∴AH＝，
∴sin∠ABH＝ ，
∴∠ABH＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE＝EB，
∴EC⊥AB，
∵DQ＝DQ′，∠PDQ＝∠PDQ′，DP＝DP，
∴△PDQ≌△PDQ′（SAS），
∴PQ＝PQ′，
∴PE＋PQ＝PE＋PQ′，
根据垂线段最短可知，当E，P，Q′共线，且点Q′与C重合时，
PE＋PQ′的值最小，最小值＝EC＝AH＝．
∴PE＋PQ的值最小，最小值为:．
（3）存在，理由如下：
如图3中，以AD为斜边在直线AD的下方作等腰直角△ADO，作OM⊥BC于M，AN⊥OM于N，连接AC，PD．

∵BA＝BC＝，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝8，∠BAC＝45°，
∵∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝ACcos30°＝，
∵△ADO是等腰直角三角形，
∴OA＝OD＝，
∵∠ABM＝∠NMB＝∠ANM＝90°，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB＝MN＝ ，∠BAN＝90°，
∴∠OAN＝75°＋45°90°＝30°，
∴ON＝OA＝，
∴OM＝，
∵DF⊥AE，FP＝FD，
∴∠FPD＝45°，
∴∠APD＝135°，
∴点P的运动轨迹是，
当点P在线段OM上时，PM的值最小，此时△PBC的面积最小，
此时PM＝OMOP＝，
∴△PBC的面积的最小值＝BCPM＝．