Question

【题目】如图，在矩形中，，分别在，上.

（1）若，.

①如图1，求证：；

②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：；

（2）如图3，若为的中点，.则的值为 （结果用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）

【解析】

（1）①由“ASA”可证△ADE≌△BAF可得AE=BF；

②过点A作AF⊥HD交BC于点F，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠HAF=∠AFG=∠DAF，可得AG=FG，即可得结论；

（2）过点E作EH⊥DF于H，连接EF，由角平分线的性质可得AE=EH=BE，由“HL”可证Rt△BEF≌Rt△HEF，可得BF=FH，由勾股定理可求解．

证明（1）①∵四边形ABCD是矩形，AD=AB,

∴四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°=∠ABC，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AF⊥DE，

∴∠DAF+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAF，且AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，

∴△ADE≌△BAF（ASA），

∴AE=BF；

②如图，过点A作AF⊥HD交BC于点F，

由（1）可知AE=BF，

∵AH=AD，AF⊥HD，

∴∠HAF=∠DAF.

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AFG，

∴∠HAF=∠AFG，

∴AG=GF，

∴AG=GB+BF=GB+AE；

（3）如图，过点E作EH⊥DF于H，连接EF，

∵E为AB的中点，

∴AE=BE=AB，

∵∠ADE=∠EDF，EA⊥AD，EH⊥DF，

∴AE=EH，AD=DH=nAB，

∴BE=EH，EF=EF，

∴Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），

∴BF=FH，

设BF=x=FH，则FC=BC-BF=nAB-x，

∵DF2=FC2+CD2，

∴（nAB+x）2=（nAB-x）2+AB2，

∴x==BF，

∴FC=AB，

∴=4n2-1.