Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴是直线x=

2

3

．
（1）求点B坐标；
（2）如果这个函数图象还过点C（0，4），求这个函数的解析式；
（3）将由②所得的函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使图象过点D（1，4），求m．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）由二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴是直线x=

2

3

，根据抛物线的对称性即可求出点B坐标；
（2）由抛物线与x轴交点A和点B的坐标，可设这个函数的解析式为交点式，再将C（0，4）代入，即可求出这个函数的解析式；
（3）先根据“上加下减”的平移规律得出由②所得的函数图象向下平移m（m＞0）个单位的解析式，再将D（1，4）代入，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴是直线x=

2

3

，
∴点B坐标为（

7

3

，0）；

（2）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x-

7

3

），
将C（0，4）代入，得4=a×1×（-

7

3

），
解得a=-

12

7

，
所以这个函数的解析式为y=-

12

7

（x+1）（x-

7

3

）；

（3）∵y=-

12

7

（x+1）（x-

7

3

）=-

12

7

（x-

2

3

）²+

100

21

，
∴将y=-

12

7

（x-

2

3

）²+

100

21

向下平移m（m＞0）个单位，得到y=-

12

7

（x-

2

3

）²+

100

21

-m，
把D（1，4）代入，得4=-

12

7

（1-

2

3

）²+

100

21

-m，
解得m=

4

7

．

点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，难度适中．正确求出函数解析式是解题的关键．