Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， BD⊥AC，垂足为D，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．

（1）求证：△DBE≌△DCF；

（2）连接EF，若AE=4，FC=3；求

①EF的长；

②四边形BFDE的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①5；②12

【解析】

（1）根据的等腰直角三角形的性质以及“ASA”证明△BED≌△CFD即可；

（2）①根据全等得出AE=BF、BE=CF，由AE=BF，FC=BE就可以求得EF的长；

②根据勾股定理求出DE、DF长，根据三角形的面积公式求出即可．

（1）证明：∵D是AC中点，

∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC，

∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，

∴∠EDB=∠CDF，

在△BED和△CFD中，

∵，

∴△BED≌△CFD；

（2）解：①∵△BED≌△CFD，

∴BE=CF=3；

同理可证：△AED≌△BFD，

∴AE=BF=4，

∵AB=BC，BE=CF=3，

∴AE=BF=4，

在Rt△BEF中，EF==5；

②∵△BED≌△CFD，

∴DE=DF，

∵∠EDF=90°，EF=5，

∴2DE2=52，

∴DE=DF=，

∵BE=3，BF=4，∠ABC=90°，

∴四边形BFDE的面积S=S△EBF+S△EDF=××=6+=12．