Question

【题目】已知点 C为线段 AB上一点，分别以 AC、BC为边在线段 AB同侧作△ACD和△BCE，且 CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线 AE与 BD交于点 F

(1)如图 1，若∠ACD＝60°，则∠AFD＝

(2)如图 2，若∠ACD＝α，连接 CF，则∠AFC＝ （用含α的式子表示）

(3) 将图 1 中的△ACD绕点 C顺时针旋转如图 3，连接 AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度数

Answer 1

【答案】（1）60°．（2）90°α；（3）∠EAB＝140°．

【解析】

（1）求出∠ACE＝∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE＝∠CDB，求出∠AFB＝∠CDA＋∠DAC，根据三角形内角和定理求出即可；

（2）求出∠ACE＝∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE＝∠CDB，求出∠AFB＝∠CDA＋∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠AFB，然后根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论；

（3）由△ACD是等边三角形，得到∠ACD＝60°，得到∠CAB＋∠CDB＝360°60°80°＝220°，根据全等三角形的性质得到∠CAE＝∠CDB，即可得到结论．

解：（1）∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，

∴∠ACE＝∠DCB，

在△ACE和△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB，

∴∠CAE＝∠CDB，

∴∠AFB＝∠CDB＋∠CDA＋∠DAE

＝∠CDA＋∠DAE＋∠BAE

＝∠CDA＋∠DAC

＝180°60°

＝120°，

∴∠AFD＝60°

故答案为：60°．

（2）解：∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，

∴∠ACE＝∠DCB，

在△ACE和△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB，

∴∠CAE＝∠CDB，

∴∠AFB＝∠CDB＋∠CDA＋∠DAE

＝∠CDA＋∠DAE＋∠BAE

＝∠CDA＋∠DAC

＝180°∠ACD

＝180°α，

∵∠CAE＝∠CDB，

∴A，C，F，D四点共圆，

∴∠ADC＝∠AFC，

同理∠CFB＝∠BEC，

∵AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，

∴∠ADC＝∠BEC，

∴∠AFC＝∠AFB＝90°α；

故答案为：90°α；

（3）∵△ACD是等边三角形，

∴∠ACD＝60°，

∵∠ABD＝80°，

∴∠CAB＋∠CDB＝360°60°80°＝220°，

∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE与△BCD中，

，

∴△ACE≌△DCB，

∴∠CAE＝∠CDB，

∴∠CAE＋∠CAB＝220°，

∴∠EAB＝140°．