【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC是∠BAD的角平分线.
(1)求证:△ABC≌△ADC.
(2)若∠BCD=60°,AC=BC,求∠ADB的度数.
【答案】(1)详见解析;(2)∠ADB=15°.
【解析】
(1)根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC,从而利用SAS,可判定全等.
(2)根据△ABC≌△ADC.可知BC=DC,∠ACB=∠ACD=30°,已知∠BCD=60°,故△BCD是等边三角形.即∠CBD=60°,在△ABC中AC=BC,∠ACB=30°,可得∠CDA=75°,进而求得∠ADB=15°.
解(1)∵AC是∠BAD的角平分线.
∴∠BAC=∠DAC,
∵AB=AD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC.
(2)∵△ABC≌△ADC.
∴BC=DC,∠ACB=∠ACD=30°,
∵∠BCD=60°,
∴△BCD是等边三角形.
∴∠CBD=60°,
∵AC=BC,
∴∠CDA=75°,
∴∠ADB=15°.
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【题目】如图,在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点,且俯角α为38°.从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点,且仰角β为28°.已知树高EF=8米,求塔CD的高度.(参考数据:sin38°≈0.6,cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,sin28°≈0.5,cos28°≈0.9,tan28°≈0.5)
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【题目】如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
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【题目】如图,已知⊙O的半径为5,P是直径AB的延长线上一点,BP=1,CD是⊙O的一条弦,CD=6,以PC,PD为相邻两边作PCED,当C,D点在圆周上运动时,线段PE长的最大值与最小值的差等于_____.
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【题目】已知抛物线y=ax2﹣x+c经过A(﹣2,0),B(0,2)两点,动点P,Q同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动,动点P沿x轴正方向运动,动点Q沿y轴正方向运动,连接PQ,设运动时间为t秒
(1)求抛物线的解析式;
(2)当BQ=AP时,求t的值;
(3)随着点P,Q的运动,抛物线上是否存在点M,使△MPQ为等边三角形?若存在,请求出t的值及相应点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,过点B作BD⊥AB,点C,D都在AB上方,AD交△BCD的外接圆⊙O于点E.
(1)求证:∠CAB=∠AEC.
(2)若BC=3.
①EC∥BD,求AE的长.
②若△BDC为直角三角形,求所有满足条件的BD的长.
(3)若BC=EC= ,则= .(直接写出结果即可)
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【题目】如图,将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处.
(1)连接CF,求证:四边形AECF是菱形;
(2)若E为BC中点,BC=26,tan∠B=,求EF的长.
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【题目】问题提出
(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为 .
问题探究
(2)如图②,⊙O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是⊙O上一动点,求PM的最大值.
问题解决
(3)如图③所示,AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F.也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).
图① 图② 图③
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【题目】从下列4个函数:①y=3x﹣2;②y=(x<0);③y=(x>0);④y=﹣x2(x<0)中任取一个,函数值y随自变量x的增大而增大的概率是( )
A. B. C. D. 1
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