【题目】如图,将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处.
(1)连接CF,求证:四边形AECF是菱形;
(2)若E为BC中点,BC=26,tan∠B=,求EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)EF=10.
【解析】
(1)如图1,利用折叠性质得EA=EC,∠1=∠2,再证明∠1=∠3得到AE=AF,则可判断四边形AECF为平行四边形,从而得到四边形AECF为菱形;
(2)作EH⊥AB于H,如图,利用四边形AECF为菱形得到AE=AF=CE=13,则判断四边形ABEF为平行四边形得到EF=AB,根据等腰三角形的性质得AH=BH,再在Rt△BEH中利用tanB==可计算出BH=5,从而得到EF=AB=2BH=10.
(1)证明:如图1,
∵平行四边形ABCD纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处,
∴EA=EC,∠1=∠2,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AE=AF,
∴AF=CE,
而AF∥CE,
∴四边形AECF为平行四边形,
∵EA=EC,
∴四边形AECF为菱形;
(2)解:作EH⊥AB于H,如图,
∵E为BC中点,BC=26,
∴BE=EC=13,
∵四边形AECF为菱形,
∴AE=AF=CE=13,
∴AF=BE,
∴四边形ABEF为平行四边形,
∴EF=AB,
∵EA=EB,EH⊥AB,
∴AH=BH,
在Rt△BEH中,tanB==,
设EH=12x,BH=5x,则BE=13x,
∴13x=13,解得x=1,
∴BH=5,
∴AB=2BH=10,
∴EF=10.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)线段AC,AG,AH什么关系?请说明理由;
(3)设AE=m,
①△AGH的面积S有变化吗?如果变化.请求出S与m的函数关系式;如果不变化,请求出定值.
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.
(1)求证:△ECF∽△GCE;
(2)求证:EG是⊙O的切线;
(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tan∠G=,AH=3,求EM的值.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC是∠BAD的角平分线.
(1)求证:△ABC≌△ADC.
(2)若∠BCD=60°,AC=BC,求∠ADB的度数.
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【题目】如图,⊙O与直线l1相离,圆心O到直线l1的距离OB=2,OA=4,将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C,则OC=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】如图,电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,若CD与地面成45°,∠A=60°,CD=4m,,则电线杆AB的长为多少米?
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于(1,1)和(3,3)两点,现有以下结论:①b2﹣4c>0;②3b+c+6=0;③当x2+bx+c>时,x>2;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0,其中正确的序号是( )
A. ①②④B. ②③④C. ②④D. ③④
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【题目】如图,锐角△ABC中,BC>AB>AC,求作一点P,使得∠BPC与∠A互补,甲、乙两人作法分别如下:
甲:以B为圆心,AB长为半径画弧交AC于P点,则P即为所求.
乙:作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线,两线交于P点,则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列叙述正确的是( )
A. 两人皆正确B. 甲正确,乙错误C. 甲错误,乙正确D. 两人皆错误
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【题目】在日常生活中我们经常会使用到订书机,如图MN是装订机的底座,AB是装订机的托板,始终与底座平行,连接杆DE的D点固定,点E从A向B处滑动,压柄BC可绕着转轴B旋转.已知压柄BC的长度为15cm,BD=5cm,压柄与托板的长度相等.
(1)当托板与压柄夹角∠ABC=37°时,如图①点E从A点滑动了2cm,求连接杆DE的长度;
(2)当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC=127°,如图②.求这个过程中点E滑动的距离.(答案保留根号)(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8.tan37°≈0.75)
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