【题目】如图,平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+4x+m﹣4(m为常数)与y轴的交点为C,M(3,0)与N(0,﹣2)分别是x轴、y轴上的点
(1)当m=1时,求抛物线顶点坐标.
(2)若3≤x≤3+m时,函数y=﹣x2+4x+m﹣4有最小值﹣7,求m的值.
(3)若抛物线与线段MN有公共点,直接写出m的取值范围是 .
【答案】(1)顶点坐标为(2,1);(2)m=2;(3)﹣≤m≤2.
【解析】
(1)利用配方法求顶点的坐标;
(2)根据二次函数的性质得到当x=m+3时,y有最小值﹣7,即可得到﹣(m+3)2+4(m+3)+m﹣4=﹣7,求解即可;
(3)求得直线MN的解析式,然后根据题意得到(﹣)2﹣4(﹣m+2)≥0且m﹣4≤﹣2,求解即可.
解:(1)当m=1时,y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1,
∴顶点坐标为(2,1);
(2)由题意可知,该抛物线开口向下,对称轴为直线x==2,
∴当3≤x≤3+m时,y随x的增大而减小,
∴当x=m+3时,y取最小值﹣7,
∴﹣(m+3)2+4(m+3)+m﹣4=﹣7,
解得:m1=2,m2=﹣3(舍去),
∴m=2;
(3)∵M(3,0),N(0,﹣2),
设直线MN解析式为:y=kx+b(k≠0),
则,解得:,
∴直线MN的解析式为y=x﹣2,
∵抛物线与线段MN有公共点,则方程﹣x2+4x+m﹣4=x﹣2,即x2﹣x﹣m+2=0中△≥0,且m﹣4≤﹣2,
∴(﹣)2﹣4(﹣m+2)≥0,
解得:﹣≤m≤2,
故答案为:﹣≤m≤2.
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【题目】某商场销售一种商品,进价为每件15元,规定每件商品售价不低于进价,且每天销售量不低于90件经调查发现,每天的销售量y(件)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系,其部分数据如下表所示:
每个商品的售价x(元) | … | 30 | 40 | 50 | … |
每天的销售量y(件) | … | 100 | 80 | 60 | … |
(1)填空:y与x之间的函数关系式是______.
(2)设商场每天获得的总利润为w(元),求w与x之间的函数关系式;
(3)不考虑其他因素,当商品的售价为多少元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣6,0)、B(2,0)、C(0,6)三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为点E,连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果点P的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)过点P(﹣3,m)作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P,求出P的坐标.(直接写出结果)
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【题目】如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长;
(3)点F在抛物线上运动,是否存在点F,使△BFC的面积为6,如果存在,求出点F的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图坐标系中,O(0,0),A(6,6),B(12,0),将△OAB沿直线CD折叠,使点A恰好落在线段OB上的点E处,若OE=,则AC:AD的值是( )
A.1:2B.2:3C.6:7D.7:8
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)试探究t为何值时,△BPQ的面积是cm2;
(3)直接写出t为何值时,△BPQ是等腰三角形;
(4)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接写出t的值.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
(1)求证:AC2=ABAD;
(2)求证:△AFD∽△CFE.
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【题目】如图,在□ABCD中,AB=BC,点E是BC的中点,且EF//AB,AE、BF交于点O,连接EF,OC.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若BC=8,∠ABC=60°,求△OEC的面积.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0).
(1)求b、c的值;
(2)如图1直线y=kx+1(k>0)与抛物线第一象限的部分交于D点,交y轴于F点,交线段BC于E点.求的最大值;
(3)如图2,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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