Question

16．如图，在⊙O中，AC为直径，AB为⊙O的切线，连接OB交圆于点D，AE是OD边上的高，若AE=6，AB=10，则CD的长为6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连结AD，如图，先在Rt△ABE中利用勾股定理计算出BE=8，再根据切线的性质得OA⊥AB，接着证明Rt△BAE∽Rt△BOA，利用相似比可计算出OB=$\frac{25}{2}$，于是根据勾股定理，在Rt△ABO中计算出OA=$\frac{15}{2}$，在Rt△AOE中计算出OE=$\frac{9}{2}$，则DE=OD-OE=3，然后在Rt△ADE中可计算出AD=3$\sqrt{5}$，再利用AC为直径得到∠ADC=90°，最后在Rt△ADC中计算出CD．

解答 解：连结AD，如图，
∵AE是OD边上的高，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∵AB=10，AE=6，
∴BE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AB为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∵∠ABE=∠OBA，
∴Rt△BAE∽Rt△BOA，
∴$\frac{BA}{BO}$=$\frac{BE}{BA}$，即$\frac{10}{OB}$=$\frac{8}{10}$，解得OB=$\frac{25}{2}$，
在Rt△ABO中，OA=$\sqrt{O{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{2}）^{2}-1{0}^{2}}$=$\frac{15}{2}$，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{（\frac{15}{2}）^{2}-{6}^{2}}$=$\frac{9}{2}$，
∴DE=OD-OE=$\frac{15}{2}$-$\frac{9}{2}$=3，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-（3\sqrt{5}）^{2}}$=6$\sqrt{5}$．
故答案为6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理．