Question

【题目】如图，CD为⊙O的直径，AB，AC为弦，且∠ADC=∠DAB+∠ACD，AB交CD于E点．

（1）求证：AB=AC．

（2）DF为切线，若DE=2，CE=10，求cos∠ADF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据圆周角定理即以及等腰三角形的判定即可求出答案．

（2）连接AO并延长交BC于点G，连接BD，根据切线的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．

（1）由圆周角定理可知：∠ADC=∠B，∠DAB=∠DCB，

∵∠ADC=∠DAB+∠ACD，

∴∠ADC=∠DCB+∠ACD，

∴∠B=∠ACB，

∴AB=AC．

（2）连接AO并延长交BC于点G，连接BD，

∵DF为切线，

∴∠CDF=90°，

∴∠ADF=∠ACD，

∵DE=2，CE=10，

∴CD=12，

∴OD=OA=6，

∴OE=OD﹣DE=4，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DAC=∠DBC=90°，

∴BD∥AG，

∴△BDE∽△AOE，

∴，

∴BD=3，

∵OG是△BCD的中位线，

∴OG=，

在Rt△OCG中，

由勾股定理可知：CG=，

在Rt△AGC中，

由勾股定理可知：AC=3，

∴cos∠ADF=cos∠ACD=．