Question

9．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象过点A（1，6）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线与反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象的另一个交点为B，与x轴交于点P，若AP=2PB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点代入，根据待定系数法即可求得；
（2）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，通过证得△APC∽△BPD，得出$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AP}{PB}$=2，求得B的纵坐标，代入解析式求得坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，即可求得P的坐标．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象过点A（1，6），
∴k=1×6=6，
∴反比例函数的表达式为：y=$\frac{6}{x}$；
（2）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∵AC∥BD，
∴△APC∽△BPD，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AP}{PB}$，
∵AP=2PB，
∴AC=2BD，
∵AC=6，
∴BD=3，
∴B的纵坐标为±3，
把y=3代入y=$\frac{6}{x}$得3=$\frac{6}{x}$，解得x=2，
把y=-3代入y=$\frac{6}{x}$得，-3=$\frac{6}{x}$，解得x=-2，
∴B（2，3）或（-2，-3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，6），B（2，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=9}\end{array}\right.$
把A（1，6），B（-2，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-3x+9或y=3x+3，
令y=0，则求得x=3或-1，
∴P的坐标为（3，0）或（-1，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点及待定系数法求函数解析式，待定系数法求函数解析式是本题的关键．