Question

15．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，连接EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，由AAS证明△ABE≌△ADF即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，再由三角函数求出出AE、EF，过A作AM⊥EF于M，利用三角函数求出AM，即可求出△AEF的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}&{\;}\\{∠AEB=∠AFD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，∠BAE=30°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴EF=AE=2$\sqrt{3}$，
过A作AM⊥EF于M，如图所示：
则AM=AE•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}$EF•AM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．