Question

2．已知关于x的方程4x²-8mx+n²=0，其中m，n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长．
（1）请判定这个方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程两实根之差的绝对值为8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形三边关系得到2m＞n，计算出判别式的值，判定与0的关系即可；
（2）根据根与系数的关系列出m，n的关系式，根据等腰三角形的面积是12列出m，n的关系式，求出m，n的值即可．

解答 解：（1）∵m，n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长，
∴2m＞n，
∴△=64m²-16n²=16（2m+n）（2m-n）＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x₁+x₂=2m，x₁•x₂=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∵|x₁-x₂|=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=64，
即4m²-n²=64，
∵等腰三角形的面积是12，
∴$\frac{1}{2}$×n×$\sqrt{{m}^{2}-\frac{{n}^{2}}{4}}$=12，
解得，m=5，n=6，
则这个三角形的周长为5+5+6=16．
答：这个三角形的周长是16．

点评 本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系和等腰三角形的性质，掌握△＞0?方程有两个不相等的实数根，△=0?方程有两个相等的实数根，△＜0?方程没有实数根和根与系数的关系是解题的关键．