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【题目】如图,已知直线yax+b与双曲线yx0)交于Ax1y1),Bx2y2)两点,点A与点B不重合,直线ABx轴交于点Px00),与y轴交于点C.

1)若AB两点坐标分别为(14),(4y2),求点P的坐标;

2)若by1+1x06,且y12y2,求AB两点的坐标;

3)若将(1)中的点AB绕原点O顺时针旋转90°A点对应的点为AB点的对应点为B点,连接ABAB,动点MA点出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动;动点N同时从B点出发沿线段BA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t秒,试探究:是否存在使MNB为等腰直角三角形的t值,若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.

【答案】1P50);(2A22),B41);(3)存在,t的值为88168

【解析】

1)先把A13)),B3y2)代入y=求得反比例函数的解析式,进而求得B的坐标,然后把AB代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式,继而即可求得P的坐标;
2)作ADy轴于DAEx轴于EBFx轴于FBGy轴于GAEBG交于H,则ADBGx轴,AEBFy轴,得出,根据题意得出,从而求得B y1),然后根据k=xy得出x1y1=y1,求得x1=2,代入,解得y1=2,即可求得AB的坐标;
3)如图2,根据旋转的性质得到B′1-4),求得AB′=8,求得AM=BN=tB′M=8-t,①当∠B′N1M1=90°,②当∠B′M2N2=90°,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

1)∵直线y=ax+b与双曲线y=x0)交于A14
k=1×4=4
y=
B4y2)在反比例函数的图象上,
y2==1
B41),
∵直线y=ax+b经过AB两点,
,解得
∴直线为y=-x+5
y=0,则x=5
P50);
2)如图,作ADy轴于DAEx轴于EBFx轴于FBGy轴于GAEBG交于H

ADBGx轴,AEBFy轴,

b=y1+1y1=2y2

By1),∵AB两点都是反比例函数图象上的点,
x1y1=y1
解得x1=2
代入,解得y1=2
A22),B41);
3)存在,

如图2,∵AB两点坐标分别为(14),(41),将B绕原点O顺时针旋转90°
B′1-4),
AB′=8
由题意得:AM=BN=t
B′M=8-t
∵△MNB′为等腰直角三角形,
∴①当∠B′N1M1=90°,即B′M1=B′N1
8-t=t
解得:t=8-8
②当∠B′M2N2=90°,即B′N2=B′M2
t=8-t),
解得:t=16-8
综上所述,t的值为8-816-8

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