Question

如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABE、等边△ACD、等边△BCF．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）求证：四边形ADFE为平行四边形；
（3）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足

 

条件时，四边形ADFE是矩形；
②当△ABC满足

 

条件时，以A、D、F、E为顶点的四边形不存在．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,平行四边形的判定,矩形的判定

专题：计算题

分析：（1）由三角形BCF与三角形AEB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）同理得到三角形FCD与三角形ABC全等，进而得到四边形AEFD两组对边相等，即可得证；
（3）①若四边形ADFE为矩形，则有∠EAD=90°，利用周角定义得到∠BAC=150°，即可得到结果；
②当三角形ABC为等边三角形，即AB=BC=AC，此时A与F重合，以A、D、F、E为顶点的四边形不存在．

解答：解：（1）∵△AEB和△BFC都为等边三角形，
∴∠ABE=∠FBC=60°，AB=EB，FB=CB，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠EBF=∠ABC，
在△BEF和△BAC中，

EB=AB ∠EBF=∠ABC FB=CB

，
∴△BEF≌△BAC（SAS）；
（2）由（1）得△BEF≌△BAC，同理得到△ABC≌△DEC，
∴EF=AC=AD，FD=AB=AE，
∴四边形ADFE为矩形；
（3）①若四边形ADFE为矩形，则有∠EAD=90°，此时∠BAC=360°-（60°+60°+90°）=150°，
则当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
②当△ABC满足AB=BC=AC时，∠BAC=60°，此时∠BAE=∠BAC=∠CAD=60°，
∴∠EAD=180°，即AE与AD在同一条直线上，
则当△ABC满足AB=BC=AC时，以A、D、F、E为顶点的四边形不存在．
故答案为：（3）①∠BAC=150°；②AB=BC=AC．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．