Question

【题目】如图①，△ABC是等腰直角三角形，，，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时，成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转时，如图②，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H；

（i）求证：；

（ii）当，时，则线段FC的长为_______．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CF成立，理由见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）2.

【解析】

（l）由旋转得：AB＝AC，∠CAF＝∠BAD＝α，AD＝AF，由SAS证得△ABD≌△ACF，即可得出结论；

（2）（i）由△ABD≌△ACF，得出∠HFN＝∠ADN，证得∠HFN＋∠HNF＝90°，得出∠NHF＝90°，即可得出结论；

（ii）由正方形的性质得出AF＝AD＝＋1，∠DAF＝90°，AD⊥AF，由等腰直角三角形的性质得出∠ABC＝45°，BC＝AB＝2，由旋转的性质得：∠BAD＝45°＝∠ABC，得出BC∥AD，证出BC⊥AF，由等腰三角形的性质得出AP＝BP＝CP＝BC＝1，得出PF＝AFAP＝，由勾股定理即可得出结果．

解：（l）BD＝CF成立；

理由如下：

由旋转得：AB＝AC，∠CAF＝∠BAD＝α，AD＝AF，

在△ABD和△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴BD＝CF；

（2）（i）证明：由（1）得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN＝∠ADN，

∵∠HNF＝∠AND，∠AND＋∠ADN＝90°，

∴∠HFN＋∠HNF＝90°，

∴∠NHF＝90°，

∴HD⊥HF，即BD⊥CF；

（ii）解：∵四边形ADEF是正方形，

∴AF＝AD＝＋1，∠DAF＝90°，AD⊥AF，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝45°，BC＝AB＝2，

由旋转的性质得：∠BAD＝45°＝∠ABC，

∴BC∥AD，

∴BC⊥AF，

∴AP＝BP＝CP＝BC＝1，

∴PF＝AFAP＝，

∴FC＝.