Question

6．如图，直线y=kx-k²（k＞0）与y轴交于C，与抛物线y=ax²有唯一公共点B，BE⊥x轴于E，D（0，4），若经过D、O、E三点的圆与抛物线的交点恰好为点B，求k的值．

Answer 1

分析 由题意得，kx-k²=ax²，即ax²-kx+k²=0有两个相等的实数根，而k＞0，根据判别式，解答即可，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{k}^{2}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$得点B的坐标为（2k，k²），连接OB、DE，则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径，所以，Rt△ODE≌Rt△EBO（HL），得到BE=DO=4，即可得出k值．

解答 解：（1）∵直线y=kx-k²与抛物线y=ax²有唯一公共点B，
∴kx-k²=ax²，即ax²-kx+k²=0有两个相等的实数根．
∴（-k）²-4ak²=0，而k＞0．
∴a=$\frac{1}{4}$．
∴y=$\frac{1}{4}$x²．
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{k}^{2}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2k}\\{y={k}^{2}}\end{array}\right.$．
∴点B的坐标为（2k，k²）．
又∵BE⊥x轴于E，
∴E（2k，0）．
∴DE⊥OB，DF=EF=OF．
连接OB、DE，则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径，
∴Rt△ODE≌Rt△EBO（HL）．
∴BE=DO．
∵D（0，4），
∴k²=4．
解得：k=±2．
∵直线经过一三四象限，
∴k=2（k＞0）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识有利用二次函数的性质求公共点的坐标、全等三角形的判定和圆的性质，证得Rt△ODE≌Rt△EBO（HL）是解题的关键．