Question

【题目】对于给定的函数，自变量取x1，x2时，对应的函数值分别记为y1，y2．自变量取时．对应的函数值记为，例如一次函数y＝2x+1，自变量取x1，x2时，对应的函数值分别为y1＝2x1+1，y2＝2x2+1，自变量取时，对应的函数值为＝2+1，若对于给定的函数，自变量取x1，x2（x1≠x2）时，总有，则称函数为凸凸函数．对于给定的函数总有，则称函数为凹凹函数．对于给定的函数总有，则称函数为平平函数．

（1）求证：函数y＝2x是平平函数；

（2）判断函数y＝ax2是凸凸函数，凹凹函数还是平平函数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）凸凸函数，理由见解析

【解析】

（1）当自变量取，时，对应的函数值分别为，，当自变量取时，对应的函数值为，于是得到，即可得到结论；

（2）当自变量取，时，对应的函数值分别为，，求得，当自变量取时，对应的函数值为，根据凸凸函数，凹凹函数的定义即可得到结论．

解：（1）证明：当自变量取，时，对应的函数值分别为，，

当自变量取时，对应的函数值为，

，

，

函数是平平函数；

（2）解：当自变量取，时，对应的函数值分别为，，

，

当自变量取时，对应的函数值为，

，

，，

当时，，

，则函数为凹凹函数．

当时，，

，则函数为凸凸函数．