Question

【题目】如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连结DB、DF．

∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．

在△BAD与△FAD中，

，

∴△BAD≌△FAD，

∴DB=DF，

∴D在线段BF的垂直平分线上，

∵AB=AF，

∴A在线段BF的垂直平分线上，

∴AD是线段BF的垂直平分线，

∴AD⊥BF；

（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，

∴DG=BH= BF．

∵BF=BC，BC=CD，

∴DG= CD．

在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG= CD，

∴∠C=30°，

∵BC∥AD，

∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．

【解析】（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；（2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG= CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．