Question

【题目】如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．

（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】

（1）因为直径所对的圆周角是90°，所以∠ADB＝90°，所以∠DAB+∠DBA＝90°，

又因为OD＝OA，所以得出∠DAB＝∠ADO，之后进一步求解即可。

（2）根据CD是⊙O的切线，BE是⊙O的切线，所以得出DE＝BE＝5，∠CBE＝90°＝∠CDO，再利用勾股定理求出BC的长，进一步证明△COD∽△CEB，之后利用相似三角形性质求解即可。

（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由如下：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∵∠CDA＝∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA＝90°，

∵OD＝OA，

∴∠DAB＝∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO＝90°，

即∠CDO＝90°，

∴OD⊥CE，

∴直线CD是⊙O的切线；

（2）∵CD是⊙O的切线，BE是⊙O的切线，

∴DE＝BE＝5，∠CBE＝90°＝∠CDO，

∴CE＝CD+DE＝13，

∴BC＝＝,

∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CEB，

∴＝，即，

解得：OC＝，

∴OB＝BC﹣OC＝ ，

即⊙O的半径为．