Question

【题目】如图，和是的半径，并且，是上任一点，的延长线交于点，过点的的切线交延长线于点．

求证：；

若，试求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）．

【解析】

（1）要证明RP=RQ，需要证明∠PQR=∠RPQ，连接OQ，则∠OQR=90°；根据OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根据等角的余角相等即可证明；

（2）延长AO交圆于点C，首先根据勾股定理求得BP的长，再根据相交弦定理求得QP的长即可．

（1）证法一：

连接OQ．

∵RQ是⊙O的切线，∴∠OQB+∠BQR=90°．

∵OA⊥OB，∴∠OPB+∠B=90°．

又∵OB=OQ，∴∠OQB=∠B，∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ，∴RP=RQ．

证法二：

作直径BC，连接CQ．

∵BC是⊙O的直径，∴∠B+∠C=90°．

∵OA⊥OB，∴∠B+∠BPO=90°，∴∠C=∠BPO．

又∵∠BPO=∠RPQ，∴∠C=∠RPQ．

又∵RQ为⊙O的切线，∴∠PQR=∠C，∴∠PQR=∠RPQ，∴RP=RQ．

（2）解法一：

作直径AC．

∵OP=PA=1，∴PC=3．

由勾股定理，得：BP==．

由相交弦定理，得：PQPB=PAPC，即PQ×=1×3，∴PQ=．

解法二：

作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，设RQ=RP=x；

由切割线定理，得：x2=（x﹣1）（x+3）

解得：x=．

∵∠BOP=∠RFP=90°，∠BPO=∠RPF，∴△BPO∽△RPF，∴，∴PF=，由等腰三角形性质得：PQ=2PF=．