Question

如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠B=30°，CD=4，求线段AB的长．

　

Answer 1

【考点】切线的判定；勾股定理．

【专题】证明题．

【分析】（1）连结OD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，而∠OAD=∠ODA，则∠ODA=∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由∠B=30°得到∠BAC=60°，则∠CAD=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=4，然后在Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB=8．

【解答】（1）证明：连结OD，如图，

∵∠BAC的平分线交BC于点D，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAD=30°，

在Rt△ADC中，DC=4，

∴AC=DC=4，

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴AB=2AC=8．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．