【题目】将两块全等的三角板如图①摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;
(2)在图②中,若AP1=2,则CQ等于多少?
【答案】(1)证明见解析;(2)CQ=
【解析】(1)利用△A1CB1≌△ACB得到CA1=CA,再根据旋转的性质得∠B1CB=∠A1CA=45°,则∠BCA1=45°,于是根据“ASA”判断△CQA1≌△CP1A,所以CP1=CQ;
(2)过点P1作P1P⊥AC于点P,如图②,先在Rt△AP1P中根据含30度的直角三角形三边的关系得到P1P=AP1=×2=1,然后在Rt△CP1P中利用等腰直角三角形的性质得CP=P1P=1,CP1=PP1=,由(1)得CQ=CP1=.
(1)∵△A1CB1≌△ACB,∴CA1=CA.
∵图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②,∴∠B1CB=∠A1CA=45°,∴∠BCA1=45°.
在△CQA1和△CP1A中,∵,∴△CQA1≌△CP1A,∴CP1=CQ;
(2)过点P1作P1P⊥AC于点P,如图②.在Rt△AP1P中,∵∠A=30°,∴P1P=AP1=×2=1.在Rt△CP1P中,∵∠P1CP=45°,∴CP=P1P=1,∴CP1=PP1=,∴CQ=CP1=.
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【题目】如图,一次函数(为常数,且)的图像与反比例函数的图像交于,两点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点,求的值.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠BAD=100°,∠BCD=70°,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,求∠B的度数.
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【题目】某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.
(1)求证:AP=CQ;
(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;
(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.
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【题目】如图,正方形网格中小方格边长为1,请你根据所学的知识解决下面问题.
(1)求网格图中△ABC的面积.
(2)判断△ABC是什么形状?并所明理由.
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【题目】如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.如果点E、F同时出发,设运动时间为t(s)当t=______s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形.
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【题目】某企业为了提高工人劳动的积极性,决定对工人的月工资进行调整.已知该企业有 n 名工人,调整后的月工资 y(元)与调整前的月工资 x(元)满足一次函数关系,如下表:
(1)求 y 与 x 的函数关系式;
(2)若某名工人调整前月工资是4800元,那么调整后这名工人月工资增加了多少元?
(3)这 名工人调整前、后的平均月工资分别为,,猜想与的关系式,并写出推导过程.
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【题目】下列说法中,不正确的是( )
A. 直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似 B. 底角为40°的两个等腰三角形相似
C. 一个锐角为30°的两个直角三角形相似 D. 有个角为30°的两个等腰三角形相似
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