Question

【题目】如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n为正整数) ．

（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；

（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①补全图形见解析；，证明见解析；②

【解析】

（1）先计算AB的长，再根据勾股定理的逆定理判定，然后根据直角三角形的性质和圆周角定理的推论即可证得结论；

（2）①根据题意即可补全图形，如图3，由旋转的性质得：，然后根据（1）的结论、四边形的内角和和周角的定义即可推出，再根据勾股定理和等量代换即可得出结论；

②如图4，过点作于，先根据△ABC的面积求出CH的长，再根据勾股定理和线段的和差关系求出AH和HE的长，进而可求出CE的长，由可得其正弦相等，进而可求出CD的长，然后由①的结论可求出DF的长，又易证，然后根据相似三角形的性质即可求出AD的长．

（1）证明：，

，

，，

，

，

，

，

，

即；

（2）解：①补全图形如图3所示；

CD、DE、DF之间的数量关系是：，理由如下：

如图 3，由旋转的性质得：，

由（1）得：，

，

，

，

，

，

；

②当时，，

如图4，过点作，垂足为，

则由△ABC的面积可得：，

，

，

∵CD是直径，∴∠CED=90°，

，，

，

，即：，解得，

∴，

，

，，

，

，

．