Question

4．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）若△ABC的面积为70，AB=16，DE=5，则BC=12．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的对称性直接证明△DBE≌△DBF即可；
（2）先算出三角形ABD的面积，再得出三角形BCD的面积，高DF=DE=5，从而直接算出BC．

解答 （1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠BFD=90°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠FBD，
又∵BD=BD，
∴△DBE≌△DBF，
∴BE=BF；
（2）解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=5，
∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}AB•DE=40$，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}BC•DF$=70-40=30，
∴BC=12．
故答案为12．

点评 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、面积法求线段长度，难度中等．熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．