Question

如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°，AC=4．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求阴影部分的面积．

　

Answer 1

【考点】切线的判定；扇形面积的计算．

【专题】计算题．

【分析】（1）连结OC，如图，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=60°，则利用三角形内角和可计算出∠OCD=90°，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；

（2）先判断△AOC为等边三角形，则OA=AC=4，然后根据扇形面积公式和等边三角形的面积公式，利用S_阴影部分=S_扇形AOC﹣S_△OAC进行计算．

【解答】解：（1）直线CD为⊙O的切线．理由如下：

连结OC，如图，

则∠AOC=2∠B=60°，

∵∠D=30°，

∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴OC⊥CD，

∴CD为⊙O的切线；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，

∴△AOC为等边三角形，

∴OA=AC=4，

∴S_阴影部分=S_扇形AOC﹣S_△OAC

=﹣•4²

=π﹣4．

【点评】本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积公式．