Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，∠AOD＝65°，点E在BO上，AF∥CE交BD于点F．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．

（2）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE能否为矩形？若能，此时BE的长为多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由．

（3）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE能否为菱形？若能，此时BE的长为多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形AFCE能为矩形，此时BE＝1；（3）平行四边形AFCE不能为菱形，理由见解析．

【解析】

（1）四边形ABCD为平行四边形，又AF∥CE，易证得△AOF≌△COE，则可得OE=OF，又由OA=OC，即可判定四边形AFCE是平行四边形；
（2）当EF=AC时，平行四边形AFCE为矩形，先得出BE=DF，再由AC=EF=6，BD=8，即可求得此时BE的长；
（3）由∠AOD=65°，可得AC与BD不垂直，即可得平行四边形AFCE不能为菱形．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵AF∥CE，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE＝OF，又OA=OC，

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）解：平行四边形AFCE能为矩形．

理由：∵四边形AFCE是平行四边形，

∴当EF＝AC＝6时，平行四边形AFCE为矩形，

∴OE＝OF，又OB＝OD，

∴BE＝DF，

∴2BE+EF＝BD，

即2BE+6＝8，

解得：BE＝1，

∴当BE＝1时，平行四边形AFCE为矩形；

（3）解：平行四边形AFCE不能为菱形．

理由：∵四边形AFCE是平行四边形，且∠AOD＝65°，

即AC与BD不垂直，

∴平行四边形AFCE不能为菱形．