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【题目】如图,在矩形ABCD中,EAD上一点,PQ垂直平分BE,分别交ADBEBC于点POQ,连接BPEQ

1)求证:△BOQ≌△EOP

2)求证:四边形BPEQ是菱形;

3)若AB6FAB的中点,OF+OB9,求PQ的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3PQ

【解析】

1)先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE,由ASA证明△BOQ≌△EOP
2)由(1)得出PE=QB,证出四边形ABGE是平行四边形,再根据菱形的判定即可得出结论;
3)根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18,设AE=x,则BE=18-x,在RtABE中,根据勾股定理可得62+x2=18-x2BE=10,得到OB=BE=5,设PE=y,则AP=8-yBP=PE=y,在RtABP中,根据勾股定理可得62+8-y2=y2,解得y=,在RtBOP中,根据勾股定理可得PO=,由PQ=2PO即可求解.

1)证明:PQ垂直平分BE

PBPEOBOE

四边形ABCD是矩形,

ADBC

∴∠PEOQBO

BOQEOP中,

∴△BOQ≌△EOPASA),

2∵△BOQ≌△EOP

PEQB

ADBC

四边形BPEQ是平行四边形,

QBQE

四边形BPEQ是菱形;

3)解:OF分别为PQAB的中点,

AE+BE2OF+2OB18

AEx,则BE18x

Rt△ABE中,62+x2=(18x2

解得x8

BE18x10

OBBE5

PEy,则AP8yBPPEy

Rt△ABP中,62+8y2y2,解得y

Rt△BOP中,PO

PQ2PO

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