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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,﹣4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=

(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接OB,求△AOB的面积.

【答案】
(1)

解:过点A作AE⊥x轴于点E,如图所示.

设反比例函数解析式为y=

∵AE⊥x轴,

∴∠AEO=90°.

在Rt△AEO中,AO=5,sin∠AOC= ,∠AEO=90°,

∴AE=AOsin∠AOC=3,OE= =4,

∴点A的坐标为(﹣4,3).

∵点A(﹣4,3)在反比例函数y= 的图象上,

∴3= ,解得:k=﹣12.

∴反比例函数解析式为y=﹣


(2)

解:∵点B(m,﹣4)在反比例函数y=﹣ 的图象上,

∴﹣4=﹣ ,解得:m=3,

∴点B的坐标为(3,﹣4).

设直线AB的解析式为y=ax+b,

将点A(﹣4,3)、点B(3,﹣4)代入y=ax+b中得:

,解得:

∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1.

令一次函数y=﹣x﹣1中y=0,则0=﹣x﹣1,

解得:x=﹣1,即点C的坐标为(﹣1,0).

SAOB= OC(yA﹣yB)= ×1×[3﹣(﹣4)]=


【解析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E,设反比例函数解析式为y= .通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度,即求出点A的坐标,再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可;(2)由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标,设直线AB的解析式为y=ax+b,由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式,令该解析式中y=0即可求出点C的坐标,再利用三角形的面积公式即可得出结论.本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式,解题的关键是:(1)求出点A的坐标;(2)求出直线AB的解析式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.

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