Question

【题目】如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3．

（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式．

（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP．请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；

（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) p＝4k+3；(2)见解析;(3) 存在，k＝2±或k＝﹣2时，△AMN的面积等于,理由见解析

【解析】

（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；

（2）连接DN．∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明△AMN∽△ABP；

（3）存在．把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比．分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k24k2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝（4k＋3），解关于k的一元二次方程．

（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB＝4；

∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3；

（2）连接DN．∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，

∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，

∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP

（3）存在．理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝，

∵S△ABD＝ABDN＝ADDB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，

∵△AMN∽△ABP，∴，即

当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），

或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），

S△ABP＝PBAD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），

∴，

整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+，k2＝2﹣

当点P在B点下方时，

∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PBAD＝[﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）

∴

化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，

综合以上所得，当k＝2±或k＝﹣2时，△AMN的面积等于