Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1CC1B1，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2C1C2B2，…，按照这样的规律作正方形，则点B2019的纵坐标为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据两对对应角相等的三角形相似，证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB＝2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，再过B点作BH⊥x轴，过B1点作B1H1⊥x轴，根据正方形的性质证明△AOD≌△BHA，求出B点坐标，再根据△ABH∽△A1B1H1，得到B1纵坐标与B点纵坐标的关系，以此类推，即可得到点B2019的纵坐标

如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BAD＝90，AB＝BC，

∴∠ABA1＝90，∠DAO＋∠BAA1＝90，

又∵在坐标平面内，∠DAO＋∠ADO＝90，

∴∠ADO＝∠BAA1，

在△AOD和△A1BA中，

∠AOD＝∠ABA1＝90

∠ADO＝∠BAA1，

∴△AOD∽△A1BA，

∴OD：AO＝AB：A1B＝2，

∴BC＝2A1B，

∴A1C＝BC，

以此类推A2C1＝A1C，A3C2＝A2C1，…，

即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，

过B点作BH⊥x轴，

在△AOD和△BHA中

∴△AOD≌△BHA

∴BH=AO=1

作过B1点作B1H1⊥x轴，

∵BH∥B1H1，

∴△ABH∽△A1B1H1，

∴

∴

∴

作过B2点作B2H2⊥x轴，

同理△A1B1H1∽△A2B2H2，

∴

∴

以此类推：

∴B2019H2019=

∴点B2019的纵坐标为

故答案为：．