如图，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为$\frac{13}{6}$，其图象经过点A（0，-2）、B（5，-2），点C在x轴上，∠ACB=90°，且CA＜CB，将△ABC饶点A逆时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴上．分析 （1）利用顶点坐标纵坐标公式：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$代入得一方程，再把A（0，-2）、B（5，-2）代入抛物线中列方程组可求解；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BCD≌△B′C′E，则B′E=BD=2，C′E=CD，再利用相似得：AF的长为1和4，因为AC＜CB，则AF=4不符合题意，由旋转的性质得△ACC′是等腰三角形，由三线合一得：OC=OC′=1，从而求得OE的长，得出点B′的坐标，并计算当x=3时，对应的y值，等于2，则在抛物线上，不等于2，则不在抛物线上；
（3）先根据勾股定理求B′P=$\frac{5}{2}$，根据S△B′PQ=S△OAP，可求出△B′PQ以B′P为底边时的高为$\frac{6}{5}$，则作AB′的平行线且距离为$\frac{6}{5}$，与抛物线交于Q1、Q2，根据两解析式列方程组可得结论．
解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=\frac{13}{6}}\\{c=-2}\\{25a+5b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=-$\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x-2$；
（2）过B作BD⊥x轴于D，过B′作B′E⊥x轴于E，
则∠C′EB′=∠BDC=90°，
由旋转得：BC=B′C′，AC=AC′，
∴∠AC′C=∠ACC′，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACC′=90°，
∵∠AC′C+∠B′C′C=90°，
∴∠BCD=∠B′C′C，
∴△BCD≌△B′C′E，
∴B′E=BD=2，C′E=CD，
过C作CF⊥AB于F，
设AF=x，则BF=5-x，
∵∠CAB+∠ACF=90°，∠ACF+∠FCB=90°，
∴∠CAB=∠FCB，
∵∠AFC=∠BFC=90°，
∴△AFC∽△CFB，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{CF}{FB}$，
∴CF2=AF•FB，
∵B（5，-2），
∴CF=2，
∴22=x（5-x），
x2-5x+4=0，
（x-1）（x-4）=0，
x=1或4，
∵AC＜CB，
∴x=4不符合题意，舍，
∴AF=OC=1，
∴CD=BF=CE=5-1=4，
∵AC=AC′，AO⊥CC′，
∴OC=OC′=1，
∴OE=C′E-OC′=4-1=3，
∴B′（3，2），
当x=3时，y=-$\frac{2}{3}$×9+$\frac{10}{3}$×3-2=2，
∴B′落在二次函数的图象上；
（3）存在，设AB′的解析式为：y=kx+b，
把A（0，-2）、B′（3，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴AB′的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x-2，
当y=0时，$\frac{4}{3}$x-2=0，
x=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，0），
∴OP=$\frac{3}{2}$，
设抛物线上任意一点为Q1，过Q1作AB′的平行线，交抛物线于Q2，交x轴于G，过P作PN⊥AB′于N，则PN⊥Q1Q2，
在Rt△B′PE中，B′E=2，PE=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：B′P=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵S△AOP=${S}_{△B′P{Q}_{1}}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{1}{2}$×B′P•PN，
3=$\frac{5}{2}$PN，
PN=$\frac{6}{5}$，
∵∠B′PG+∠GPN=90°，
∠GPN+∠PGN=90°，
∴∠B′PG=∠PGN，
∵∠PEB′=∠PNG=90°，
∴△PNG∽△B′EP，
∴$\frac{PG}{PB′}=\frac{PN}{B′E}$，
∴$\frac{PG}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{6}{5}}{2}$，
∴PG=$\frac{3}{2}$，
∴OG=OP+PG=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3，
∴G（3，0），
设GQ1的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+b，
把G（3，0）代入得：$\frac{4}{3}$×3+b=0，
b=-4，
∴GQ1的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x-4，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-4}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{2\sqrt{21}-6}{3}}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-2\sqrt{21}-6}{3}}\end{array}\right.$，
综上所述，点Q的坐标是：Q1（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{2\sqrt{21}-6}{3}$），Q2（$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-2\sqrt{21}-6}{3}$）．
点评 本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，利用了方程组的解求两函数的交点坐标；并利用相似和全等的性质和判定证明边的长，写出对应点的坐标．
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如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是$\widehat{EB}$的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC=BC；③∠DAE=∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（ ）| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
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| A． | α=30° | B． | α=45° | C． | 30°＜α＜45° | D． | 45°＜α＜60° |
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如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内．其坐标是（x，8），且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是$\frac{4}{3}$．求：查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC延长线上一点，点E是边AC上一点，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=75°，AC=6，DE垂直平分BC，则BE的值为（ ）| A． | 12 | B． | 6$\sqrt{3}$ | C． | 8 | D． | 9 |
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如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=3，BE=5，则长AD与宽AB的比值是5：4．
如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（ ）