Question

1．如图．在△ABC中，∠A=α．△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P．且∠P=β．试探究图中α与β的关系．并说明理由．

Answer 1

分析 利用角平分线定义可知∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD．再利用外角性质，可得∠ACD=∠A+∠ABC①，∠PCD=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC②，那么可利用∠PCD=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC，可得相等关系．

解答 解：∵CP是∠ACD的角平分线，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD．
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵∠PCD=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A，即α=2β．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，利用了角平分线定义、三角形外角性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和等知识．