Question

8．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

• A． $3\sqrt{2}$
• B． 4
• C． $4\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴MH=MN，
∴BM+MN=BM+MH=BN，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∴BH就是BM+MN的最小值，
∵AB=6，∠BAC=45°，
∴BH=AB•sin45°=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$．
∴BM+MN的最小值是3$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．