Question

19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，
（1）求证：OD=OP；
（2）求证：FE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据余角的性质，可得∠2与∠AEO的关系，根据平行线的判定与性质，可得∠1与∠AEO的关系，∠AFP与∠ODP间的关系，根据等腰三角形的判定与性质，可得AF与AP的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得∠AFE的度数，根据矩形的判定，可得∠FEO的度数，根据切线的判定，可得答案．

解答 证明：（1）在∴△OPE和△ODB中  $\left\{\begin{array}{l}{∠EPO=BDO=90°}\\{∠EOP=∠BOD}\\{OE=OB}\end{array}\right.$，
∴△OPE≌△ODB（AAS），
∴OD=OP；
（2）如图：连接EA，EB，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠AEO+∠OEB=90°．
∵∠3=∠DEB
∴∠2=∠AQEO．
∵∠C=∠BDE=90°
∴CF∥OE，
∴∠ODP=∠AFP，∠1=∠AEO，
∴∠A=2．
∵OD=OP，
∴∠ODP=∠OPD．
∵∠OPD=∠APF，
∴∠AFP=∠APF
∴AF=AP．
在△APE和△AFE 中$\left\{\begin{array}{l}{AF=AP}\\{∠1=∠2}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AFE （ASA），
∴∠AFE=∠APE=90°
∴∠FED=90°
又∵FE经过半径的外端，
∴FE是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也利用了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，余角的性质．