Question

【题目】探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．

（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则________________；

②如图3，平分，平分，若，，求的度数；

③如图4，，的等分线相交于点，，，，若，，求的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；详见解析（2）①50°②85°③50°

【解析】

（1）首先连接AD并延长，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值．
②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根据∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，即可求出∠DCE的度数．

③设，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出∠A的度数．

解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由如下：

如图（1），连接AD并延长．

图1

根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°，

故答案为50°；

②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，

∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，

∴∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE

=45°+40°=85°；

③设，．

则，，

则，

解得

所以

即的度数为50°．