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【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A30),点B04),把△ABO绕点A顺时针旋转,得△ABO,点BO旋转后的对应点为B′,O

1)如图1,当旋转角为90°时,求BB的长;

2)如图2,当旋转角为120°时,求点O的坐标;

3)在(2)的条件下,边OB上的一点P旋转后的对应点为P,当OP+AP取得最小值时,求点P的坐标.(直接写出结果即可)

【答案】1)5;(2)O'();(3)P'().

【解析】

1)先求出AB.利用旋转判断出△ABB'是等腰直角三角形即可得出结论

2)先判断出∠HAO'=60°,利用含30度角的直角三角形的性质求出AHOH即可得出结论

3)先确定出直线O'C的解析式进而确定出点P的坐标再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论

1A30),B04),OA=3OB=4AB=5由旋转知BA=B'ABAB'=90°,∴△ABB'是等腰直角三角形BB'=AB=5

2)如图2过点O'O'Hx轴于H由旋转知O'A=OA=3OAO'=120°,∴∠HAO'=60°,∴HO'A=30°,AH=AO'=OH=AH=OH=OA+AH=O'();

3)由旋转知AP=AP',O'P+AP'=O'P+AP如图3A关于y轴的对称点C连接O'Cy轴于PO'P+AP=O'P+CP=O'C此时O'P+AP的值最小

∵点C与点A关于y轴对称C(﹣30).

O'(),∴直线O'C的解析式为y=x+x=0y=P0),O'P'=OP=P'DO'HD

∵∠B'O'A=BOA=90°,AO'H=30°,∴∠DP'O'=30°,O'D=O'P'=P'D=O'D=DH=O'HO'D=O'H+P'D=P'().

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