【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(3,0),点B(0,4),把△ABO绕点A顺时针旋转,得△AB′O′,点B,O旋转后的对应点为B′,O.
(1)如图1,当旋转角为90°时,求BB′的长;
(2)如图2,当旋转角为120°时,求点O′的坐标;
(3)在(2)的条件下,边OB上的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+AP′取得最小值时,求点P′的坐标.(直接写出结果即可)
【答案】(1)5;(2)O'(,);(3)P'(,).
【解析】
(1)先求出AB.利用旋转判断出△ABB'是等腰直角三角形,即可得出结论;
(2)先判断出∠HAO'=60°,利用含30度角的直角三角形的性质求出AH,OH,即可得出结论;
(3)先确定出直线O'C的解析式,进而确定出点P的坐标,再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.
(1)∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=5,由旋转知,BA=B'A,∠BAB'=90°,∴△ABB'是等腰直角三角形,∴BB'=AB=5;
(2)如图2,过点O'作O'H⊥x轴于H,由旋转知,O'A=OA=3,∠OAO'=120°,∴∠HAO'=60°,∴∠HO'A=30°,∴AH=AO'=,OH=AH=,∴OH=OA+AH=,∴O'();
(3)由旋转知,AP=AP',∴O'P+AP'=O'P+AP.如图3,作A关于y轴的对称点C,连接O'C交y轴于P,∴O'P+AP=O'P+CP=O'C,此时,O'P+AP的值最小.
∵点C与点A关于y轴对称,∴C(﹣3,0).
∵O'(),∴直线O'C的解析式为y=x+,令x=0,∴y=,∴P(0,),∴O'P'=OP=,作P'D⊥O'H于D.
∵∠B'O'A=∠BOA=90°,∠AO'H=30°,∴∠DP'O'=30°,∴O'D=O'P'=,P'D=O'D=,∴DH=O'H﹣O'D=,O'H+P'D=,∴P'().
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【题目】如图,弹性小球从P(2,0)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1,第二次碰到正方形的边时的点为P2…,第n次碰到正方形的边时的点为Pn,则P2020的坐标是( )
A.(5,3)B.(3,5)C.(0,2)D.(2,0)
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【题目】如图,点A,B为定点,定直线l//AB,P是l上一动点.点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:
①线段MN的长;
②△PAB的周长;
③△PMN的面积;
④直线MN,AB之间的距离;
⑤∠APB的大小.
其中会随点P的移动而变化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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【题目】一次函数y= kx +b的图像如图所示,看图填空:
(1)当x=0时,y= ;当x= 时,y=0
(2)k= ,b= .
(3)当y=30时,x= .
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【题目】如图,公路AB和公路CD在点P处交汇,点E处有一所学校,EP=160米,点E到公路AB的距高EF=80米,假若拖拉机行驶时,周围100米内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路AB上沿方向行驶时,学校是否受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是,点的坐标是,连结,点是线段上的一个动点(包括两端点),直线上有一动点,连结,已知的面积为,则点的坐标为__________________.
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【题目】如图,抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论.
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【题目】为了提高服务质量,某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升,已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元,如果提升相同数量的套房,甲种套房费用为625万元,乙种套房费用为700万元.
(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元?
(2)如果需要甲、乙两种套房共80套,市政府筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升,市政府对两种套房的提升有几种方案?哪一种方案的提升费用最少?
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