Question

18．已知α、β是关于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0的两个不相等的实数根，且满足$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$=-1，则m的值是无实数值．

Answer 1

分析 先根据判别式的意义可判断m＜$\frac{3}{4}$，再根据根与系数的关系得到α+β=-（2m-3），αβ=m²，接着由$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$=-1变形得到（α+β）²=αβ，则（2m-3）²=m²，解得m=3或m=1，然后根据m＜$\frac{3}{4}$，可判断m无实数值．

解答 解：根据题意得△=（2m-3）²-4m²＞0，解得m＜$\frac{3}{4}$，
α+β=-（2m-3），αβ=m²，
∵$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$=-1，
∴α²+β²=-αβ，
∴（α+β）²=αβ，
∴（2m-3）²=m²，解得m=3或m=1，
∵m＜$\frac{3}{4}$，
∴m无解．
故答案为无实数值．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．