Question

3．已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
①x²-1=0，②x²+x-2=0，③x²+2x-3=0，④x²+3x-4=0，…，⑪，…
（1）上述一元二次方程的解为①x₁=1，x₂=-1，②x₁=1，x₂=-2，③x₁=1，x₂=-3，④x₁=1，x₂=-4．
（2）猜想：第n个方程为x²+（n-1）x-n=0，其解为x₁=1，x₂=-n．
（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．

Answer 1

分析 （1）用十字相乘法因式分解可以求出它们的根．
（2）由（1）找出规律，写出方程，解方程求出方程的根．
（3）根据（1）、（2）可以写出它们的共同特点．

解答 解：（1）①（x+1）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=-1．
②（x+2）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=-2．
③（x+3）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=-3．
④（x+4）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=-4．

（2）由（1）找出规律，可写出第n个方程为：
x²+（n-1）x-n=0，
（x-1）（x+n）=0，
解得x₁=1，x_n=-n．

（3）这n个方程都有一个根是1； 另一个根是n的相反数； a+b+c=0； b²-4ac=（n+1）²；都有两个不相等的实数根； 两个根异号．
故答案是：（1）①x₁=1，x₂=-1．②x₁=1，x₂=-2．③x₁=1，x₂=-3．④x₁=1，x₂=-4．
（2）x²+（n-1）x-n=0；x₁=1，x₂=-n．
（3）这n个方程都有一个根是1； 另一个根是n的相反数； a+b+c=0； b²-4ac=（n+1）²；都有两个不相等的实数根； 两个根异号．

点评 本题考查的是用因式分解法解方程，用十字相乘法因式分解求出方程的根，然后找出规律，写出第n个方程，求出第n个方程的根，并写出它们的共同特点．